Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x

Câu hỏi số 420010:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\) (với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\)).

1) Rút gọn biểu thức \(P.\)

2) Chứng minh \(P > \dfrac{2}{3}\) với mọi \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

A. \(1)\,\,P = \dfrac{{x - 1}}{{x + \sqrt x + 1}}.\)

B. \(1)\,\,P = \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}.\)

C. \(1)\,\,P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}.\)

D. \(1)\,\,P = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420010

Phương pháp giải

1) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

2) Giải bất phương trình \(P > \dfrac{2}{3}\) để tìm \(x.\)

Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Giải chi tiết

1) Rút gọn biểu thức \(P.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{x}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\left( {\sqrt x - 1} \right) + x + \sqrt x + 1 - x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\sqrt x - x + x + \sqrt x - x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

Vậy \(P = \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}.\)

2) Chứng minh \(P > \dfrac{2}{3}\) với mọi \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P > \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} > \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{2}{3} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3 - 2\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{3\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 3 - 2x - 2\sqrt x - 2}}{{3\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{3\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,3\left( {x + \sqrt x + 1} \right) > 0\,\,\forall x\,\,tm\,\,DKXD} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \ne 1\\ \Leftrightarrow x \ne 1.\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta thấy \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(P > \dfrac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link