Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0\) (với \(m\) là tham số). a) Chứng minh

Câu hỏi số 420011:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0\) (với \(m\) là tham số).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\) thì phương trình luôn có nghiệm.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(\sqrt {{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2} + 2} = 1.\)

A. \(b)\,\, m = 2\)

B. \(b)\,\, m = 4\)

C. \(b)\,\, m = 8\)

D. \(b)\,\, m = 5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420011

Phương pháp giải

a) Chứng minh phương trình có \(\Delta \ge 0\,\) với mọi \(m.\)

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Giả sử \({x_1} > {x_2}.\) Khi đó ta có: \(\sqrt {{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2} + 2} = 1\)

Thay hệ thức Vi-et vào biểu thức trên, giải phương trình tìm \(m.\)

Đối chiếu với điều kiện có hai nghiệm dương phân biệt của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\) thì phương trình luôn có nghiệm.

Xét phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0\)

Phương trình có: \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 2} \right)\) \( = {m^2} + 2m + 1 - 8m + 8\) \( = {m^2} - 6m + 9 = {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(\sqrt {{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2} + 2} = 1.\)

Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} > 0\\m + 1 > 0\\2m - 2 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 \ne 0\\m > - 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m > 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Với \(m > 1,\,\,m \ne 3\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với \({x_1} > {x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = 2m - 2\end{array} \right..\)

Với \({x_1} > {x_2},\) theo đề bài ta có: \(\sqrt {{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2} + 2} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2} + 2} } \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + 2 + {x_2} + 2 - 2\sqrt {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 4 - 2\sqrt {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} = 1\\ \Leftrightarrow m + 1 + 4 - 2\sqrt {2m - 2 + 2\left( {m + 1} \right) + 4} = 1\\ \Leftrightarrow m + 5 - 2\sqrt {2m - 2 + 2m + 2 + 4} = 1\\ \Leftrightarrow m + 5 - 2\sqrt {4m + 4} = 1\\ \Leftrightarrow m + 4 = 2\sqrt {4\left( {m + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow m + 4 = 4\sqrt {m + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 4} \right)^2} = 16\left( {m + 1} \right)\,\,\,\,\left( {tm\,\,\forall m > 1,\,\,m \ne 3} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 = 16m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 8\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link