Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} -

Câu hỏi số 420093:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - m + 3\) đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

A. \(m = - 1\) hoặc \(m = 2\)

B. \(m = - 1\)

C. Không tồn tại \(m\)

D. \(m = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420093

Phương pháp giải

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = - {x^2} + 2mx - m - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - \left( {m + 1} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\4{m^2} - 4\left( {m + 1} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\4{m^2} - 4m - 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.