Tìm tất cả các giá trị thực \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + \left( {m - 1}

Câu hỏi số 420094:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\) đồng biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 1.

A. \(m \ge 0\)

B. \(m \le 0\)

C. \( - \dfrac{5}{4} < m < 0\)

D. \(m > - \dfrac{5}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420094

Phương pháp giải

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 1\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + m - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 1 \( \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 + 3\left( {m - 1} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} > 1\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\4 + \dfrac{{4\left( {m - 1} \right)}}{3} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m > - \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - \dfrac{5}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.