Biết rằng có hai tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} +

Câu hỏi số 420104:

Vận dụng

Biết rằng có hai tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}\left( {3m - 1} \right){x^2} - m\left( {2m - 1} \right)x - 2\) đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1 đơn vị. Tính tổng hai tham số \(m\) đó.

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420104

Phương pháp giải

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = - {x^2} + \left( {3m - 1} \right)x - m\left( {2m - 1} \right)\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 4m\left( {2m - 1} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\{x_1}{x_2} = m\left( {2m - 1} \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 > 0\\{\left( {3m - 1} \right)^2} - 4m\left( {2m - 1} \right) = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\{m^2} - 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\).

Vậy tổng hai tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 2.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.