Với \(a,\,\,b\) là những số thực dương thỏa mãn \(2 \le 2a + 3b \le 5,\) \(8a + 12b \le 2{a^2} + 3{b^2} +

Câu hỏi số 420267:

Vận dụng cao

Với \(a,\,\,b\) là những số thực dương thỏa mãn \(2 \le 2a + 3b \le 5,\) \(8a + 12b \le 2{a^2} + 3{b^2} + 5ab + 10.\)

Chứng minh rằng: \(3{a^2} + 8{b^2} + 10ab \le 21.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420267

Giải chi tiết

Đặt \(P = 3{a^2} + 8{b^2} + 10ab\)

\(\begin{array}{l} = 3{a^2} + 6ab + 4ab + 8{b^2}\\ = 3a\left( {a + 2b} \right) + 4b\left( {a + 2b} \right)\\ = \left( {a + 2b} \right)\left( {3a + 4b} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow 21P = 21\left( {a + 2b} \right)\left( {3a + 4b} \right) = 7\left( {a + 2b} \right).3\left( {3a + 4b} \right)\)

Ta có: \(7\left( {a + 2b} \right).3.\left( {3a + 4b} \right) \le \dfrac{{{{\left[ {7\left( {a + 2b} \right) + 3\left( {3a + 4b} \right)} \right]}^2}}}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 21P \le \dfrac{{{{\left( {7a + 14b + 9a + 12b} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 21P \le \dfrac{{{{\left( {16a + 26b} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 21P \le {\left( {8a + 13b} \right)^2}\end{array}\)

Ta đi chứng minh: \(8a + 13b \le 21.\)

Ta có: \(8a + 12b \le 2{a^2} + 3{b^2} + 5ab + 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8a + 12b \le \left( {a + b} \right)\left( {2a + 3b} \right) + 10\\ \Rightarrow 8a + 12b \le \left( {a + b} \right).5 + 10\,\,\,\left( {do\,\,\,\,2a + 3b \le 5} \right)\\ \Rightarrow 8a + 12b \le 5a + 5b + 10\\ \Rightarrow 2a + 7b \le 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 7b \le 10\\2a + 3b \le 6\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn hai số \(m,\,\,n\) thỏa mãn \(m\left( {3a + 7b} \right) + n\left( {2a + 3b} \right) = 8a + 13b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3m + 2n} \right)a + \left( {7m + 3n} \right)b = 8a + 13b\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 2n = 8\\7m + 3n = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{2}{5}\\n = \dfrac{{17}}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow 8a + 13b = \dfrac{2}{5}\left( {3a + 7b} \right) + \dfrac{{17}}{5}\left( {2a + 3b} \right)\\ \Rightarrow 8a + 13b \le \dfrac{2}{5}.10 + \dfrac{{17}}{5}.5 = 21\\ \Rightarrow 21P \le {21^2}\\ \Rightarrow P \le 21.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = 1.\)

Vậy \(3{a^2} + 8{b^2} + 10ab \le 21.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link