Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle BAC\) là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường

Câu hỏi số 420268:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle BAC\) là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Điểm \(D\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(AD\) là phân giác của \(\angle BAC.\) Lấy điểm \(M,\,\,N\) thuộc \(\left( O \right)\) sao cho các đường thẳng \(CM\) và \(BN\) cùng song song với \(AD.\)

1) Chứng minh rằng \(AM = AN.\)

2) Gọi giao điểm của đường thẳng \(MN\) với các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt là \(E,\,\,F.\) Chứng minh rằng 4 điểm \(B,\,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi \(P,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(AM,\,\,AN.\) Chứng minh rằng các đường thẳng \(EQ,\,\,FP\) và \(AD\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420268

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng \(AM = AN.\)

Ta có: \(\angle NBA = \angle DAB\) (so le trong do \(BN\parallel AD\))

\(\angle DAB = \angle DAC\) (gt)

\(\angle DAC = \angle ACM\) (so le trong \(CM\parallel AD\))

\( \Rightarrow \angle NBA = \angle MCA\) \( \Rightarrow \) số đo cung \(AN\) = số đo cung \(AM\) (trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau).

Vậy \(AM = AN\) (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

2) Gọi giao điểm của đường thẳng \(MN\) với các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt là \(E,\,\,F.\) Chứng minh rằng 4 điểm \(B,\,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(\angle AEF = \dfrac{1}{2}\) (số đo cung \(AN\) + số đo cung \(CM\)) (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn).

\( = \dfrac{1}{2}\) (số đo cung \(AM\) + số đo cung \(CM\))

\( = \dfrac{1}{2}\)số đo cung \(AC\) = \(\angle ABC\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Vậy tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau) hay \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.

3) Gọi \(P,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(AM,\,\,AN.\) Chứng minh rằng các đường thẳng \(EQ,\,\,FP\) và \(AD\) đồng quy.

Gọi \(AD \cap EF = \left\{ H \right\},\,\,AD \cap EQ = \left\{ K \right\}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AHN\), cát tuyến \(EKQ\) ta có:

\(\dfrac{{EN}}{{EH}}.\dfrac{{KH}}{{KA}}.\dfrac{{QA}}{{QN}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{EH}}.\dfrac{{KH}}{{KA}} = 1\) (do \(Q\) là trung điểm của \(AN\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(QA = QN\)).

\( \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{EH}} = \dfrac{{KA}}{{KH}}\) (I).

Gọi \(AD \cap PE = \left\{ {K'} \right\}\). Ta đi chứng minh \(K' \equiv K\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AHM\), cát tuyến \(PKF\) ta có:

\(\dfrac{{FM}}{{FH}}.\dfrac{{K'H}}{{K'A}}.\dfrac{{PA}}{{PM}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{FM}}{{FH}}.\dfrac{{K'H}}{{K'A}} = 1\) (do \(P\) là trung điểm của \(AM\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(PA = PM\)).

\( \Rightarrow \dfrac{{FM}}{{FH}} = \dfrac{{K'A}}{{K'H}}\) (II).

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{{EN}}{{EH}} = \dfrac{{FM}}{{FH}} \Leftrightarrow \dfrac{{FM}}{{EN}} = \dfrac{{FH}}{{EH}} = \dfrac{{FM - FH}}{{EN - EH}} = \dfrac{{HM}}{{HN}}\) (*) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau).

Vì \(BN\parallel AD\parallel CM\) nên áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HM}}{{HN}} = \dfrac{{DC}}{{DB}}\).

Lại có \(\dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) (định lí đường phân giác), do đó \(\dfrac{{HM}}{{HN}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) (1).

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có: \(\angle AEF = \angle ABC\,\,\left( {cmt} \right)\), \(\angle BAC\) chung.

\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AE}}\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{HN}} = \dfrac{{AF}}{{AE}}\) (3).

Tiếp tục áp dụng định lí đường phân giác trong tam giác \(AEF\) ta có: \(\dfrac{{AF}}{{AE}} = \dfrac{{HF}}{{HE}}\) (4).

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\dfrac{{HM}}{{HN}} = \dfrac{{HF}}{{HE}}\), do đó (*) được chứng minh, tức là \(\dfrac{{EN}}{{EH}} = \dfrac{{FM}}{{FH}}\) (III).

Từ (I), (II) và (III) suy ra \(\dfrac{{KA}}{{KH}} = \dfrac{{K'A}}{{K'H}}\), do đó \(K \equiv K'\).

Vậy \(EQ,\,\,\,FP,\,\,AD\) đồng quy tại \(K\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link