Cho hình chóp đều \(S.ABC\), góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Câu hỏi số 420556:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABC\), góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420556

Phương pháp giải

- Gọi \(O\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).

- Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SN;AN} \right)\).

- Đặt \(ON = x\), tính \(SO,\,\,SA\) theo \(x\), sử dụng tỉ số lượng giác và định lí Pytago trong tam giác vuông.

- Sử dụng hệ thức: \(SO.AN = NH.SA\), tính \(x\) theo \(a\). Từ đó tính được \(AB\) và tính được \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}\).

- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

+ Gọi \(O\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).

+ Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot SN\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SN \subset \left( {SBC} \right),\,\,SN \bot BC\\AN \subset \left( {ABC} \right),\,\,AN \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SN;AN} \right) = \angle SNA = {60^0}\).

+ Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(NH \bot SA\,\,\left( {H \in SA} \right)\) \( \Rightarrow NH \bot BC\) \( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = NH = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}\).

+ Đặt \(ON = x \Rightarrow AN = 3x,\,\,OA = 2x\).

+ \(\Delta SON:\,\,SO = ON.\tan {60^0} = x\sqrt 3 \), \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {3{x^2} + 4{x^2}} = x\sqrt 7 \).

+ \(\Delta SAN:\,\,{S_{\Delta SAN}} = \dfrac{1}{2}SO.AN = \dfrac{1}{2}NH.SA\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SO.AN = NH.SA\\ \Rightarrow x\sqrt 3 .3x = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}.x\sqrt 7 \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AM = 3a = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = a\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Và \(SO = x\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.