Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao bằng \(h\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB}

Câu hỏi số 420555:

Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao bằng \(h\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\alpha \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(h\) và \(\alpha \).

A. \(\dfrac{{3{h^3}}}{{4{{\tan }^2}\alpha }}\)

B. \(\dfrac{{4{h^3}}}{{3{{\tan }^2}\alpha }}\)

C. \(\dfrac{{8{h^3}}}{{3{{\tan }^2}\alpha }}\)

D. \(\dfrac{{4{h^3}}}{{8{{\tan }^2}\alpha }}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420555

Phương pháp giải

- Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(OM\) theo \(h\) và \(\alpha \), từ đó tính \({S_{ABCD}}\) theo \(h\) và \(\alpha \).

- Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

+ Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

+ Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SM \subset \left( {SCD} \right),\,\,SM \bot CD\\OM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,OM \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO = \alpha \).

+ \(\Delta SOM\): \(OM = SO.\cot \alpha = \dfrac{h}{{\tan \alpha }}\) \( \Rightarrow AD = 2OM = \dfrac{{2h}}{{\tan \alpha }}\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{4{h^2}}}{{{{\tan }^2}\alpha }}\).

+ \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.h.\dfrac{{4{h^2}}}{{{{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{{4{h^3}}}{{3{{\tan }^2}\alpha }}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.