Cho x,y,z là ba số thực dường thỏa mãn √x+√y+√z=2. Chứng
Cho x,y,z là ba số thực dường thỏa mãn √x+√y+√z=2. Chứng minh
x√xx+√xy+y+y√yy+√yz+z+z√zz+√zx+x≥23
Quảng cáo
Đặt {a=√x>0b=√y>0c=√z>0⇒a+b+c=2
Áp dụng BĐT a2x+b2y≥(a+b)2x+y
Đặt {a=√x>0b=√y>0c=√z>0⇒a+b+c=2 ta được:
VT=a3a2+ab+b2+b3b2+bc+c2+c3c2+ca+a2=a4a3+a2b+ab2+b4b3+b2c+bc2+c4c3+c2a+ca2
Áp dụng BĐT a2x+b2y≥(a+b)2x+y ta có:
a4a3+a2b+ab2+b4b3+b2c+bc2≥(a2+b2)2(a3+a2b+ab2)+(b3+b2c+bc2)⇒a4a3+a2b+ab2+b4b3+b2c+bc2+c4c3+c2a+ca2≥(a2+b2)2(a3+a2b+ab2)+(b3+b2c+bc2)+c4c3+c2a+ca2≥(a2+b2+c2)2(a3+a2b+ab2)+(b3+b2c+bc2)+(c3+c2a+ca2)=(a2+b2+c2)2a3+a2b+a2c+b3+b2a+b2c+c3+c2a+c2b=(a2+b2+c2)2a2(a+b+c)+b2(a+b+c)+c2(a+b+c)=(a2+b2+c2)2(a2+b2+c2)(a+b+c)=a2+b2+c2a+b+c=12(a21+b21+c21)≥12.(a+b+c)21+1+1=12.223=23
⇒a3a2+ab+b2+b3b2+bc+c2+c3c2+ca+a2≥23 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=23.
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hỗ trợ - Hướng dẫn

-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com