Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), cạnh \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 422175:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = 2a\). Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng:

A. \({90^0}\)

B. \({45^0}\)

C. \({60^0}\)

D. \({30^0}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422175

Phương pháp giải

- Xác định hình chiếu của điểm B lên (SAC).

- Góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và hình chiếu của SB lên (SAC).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(AC = BD = \left\{ O \right\}\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right)\).

\( \Rightarrow SO\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {SAC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;SO} \right) = \angle BSO\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(BD = 2a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\sqrt 2 \).

Vì \(BO \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BO \bot SO \Rightarrow \Delta SOB\) vuông tại \(O\).

\( \Rightarrow \sin \angle BSO = \dfrac{{BO}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \angle BSO = {30^0}\).

Vậy \(\angle \left( {SB;\left( {SAC} \right)} \right) = {30^0}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.