Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (với

Câu hỏi số 422646:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (với $M \ne A$ và $M \ne B$ ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax. Tía BM cắt Ax tại I, tia phân giác của góc $\angle IAM$ cắt nửa đường tròn tại E và cắt tia BM tại F, tia BE cắt AM tại K và cắt Ax tại H.

a) Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ABF là tam giác cân.

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.

d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422646

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp đường tròn.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ ta có:

$\angle AEB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \angle FEK = {90^0}$

$\angle AMB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \angle FMK = {90^0}$

Tứ giác EFMK có $\angle FEK + \angle FMK = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180^0}$ )

Vậy tứ giác EFMK nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Chứng minh ABF là tam giác cân.

Tứ giác AEMB nội tiếp nên $\angle EAM = \angle EBM$ (cùng chắn cung EM)

Mà AF là tia phân giác của $\angle IAM$ nên $\angle IAF = \angle FAM = \angle EAM$

$\Rightarrow \angle EBM = \angle EBM = \angle FAI$

Mà $\angle FAI + \angle FAB = \angle IAB = {90^0}$

$\angle EBM + \angle EFB = {90^0}$

Nên $\angle FAB = \angle EFB = \angle AFB$ .

Tam giác ABF có $\angle FAB = \angle AFB$ nên là tam giác cân tại B (đpcm).

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.

Tam giác ABF cân tại B (câu b) nên $BE$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

$\Rightarrow E$ là trung điểm AF.

Tam giác AHK có $AE$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại $A$

$\Rightarrow AE$ cũng là đường trung tuyến của tam giác

$\Rightarrow E$ là trung điểm của HK.

Tứ giác AKFH có hai đường chéo AF, HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $HK \bot AF$ nên tứ giác AKFH là hình thoi (dhnb) (đpcm).

d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.

AKFH là hình thoi nên $FK//AH \Rightarrow FK//AI$ nên tứ giác AKFI là hình thang.

Để tứ giác AKFI là tứ giác nội tiếp thì $\angle AKF + \angle AIF = {180^0}$

Mà $\angle AKF + \angle KAI = {180^0}$ (kề bù)

Nên $\angle AIF = \angle KAI$ hay $\angle AIM = \angle MAI$

Do đó tam giác $AMI$ vuông cân $\Rightarrow MAI = {45^0} \Rightarrow \angle MAB = {45^0}$

$\Rightarrow sd\,cung\,MB = 2\angle MAB = {2.45^0} = {90^0}$

$\Rightarrow M$ là điểm chính giữa cung AB.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.