Chứng minh rằng với \(a > \dfrac{1}{8}\) thì số sau đây là một số nguyên dương: \(x = \sqrt[3]{{a

Câu hỏi số 424335:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng với \(a > \dfrac{1}{8}\) thì số sau đây là một số nguyên dương:

\(x = \sqrt[3]{{a + \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424335

Phương pháp giải

- Lập phương 2 vế, giải phương trình tìm \(x\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt[3]{{a + \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }}\\ \Leftrightarrow {x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{a + \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }}} \right)^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} = a + \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} + a - \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3\left( {a + \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} } \right)\left( {a - \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} } \right)\left( {\sqrt[3]{{a + \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \dfrac{{a + 1}}{3}\sqrt {\dfrac{{8a - 1}}{3}} }}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} = 2a + 3x\sqrt[3]{{{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a + 1}}{3}} \right)}^2}\left( {\dfrac{{8a - 1}}{3}} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x^3} = 2a + 3x\sqrt[3]{{{a^2} - \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}\left( {8a - 1} \right)}}{{27}}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} = 2a + 3x\sqrt[3]{{\dfrac{{27{a^2} - 8{a^3} - 15{a^2} - 6a + 1}}{{27}}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} = 2a + 3x\dfrac{{\sqrt[3]{{ - 8{a^3} + 12{a^2} - 6a + 1}}}}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} = 2a + 3x\dfrac{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2a} \right)}^3}}}}}{3}\\ \Leftrightarrow {x^3} = 2a + x\left( {1 - 2a} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - x + 2ax - 2a = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 1} \right) + 2a\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 1} \right) + 2a} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + x + 2a = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phương trình (*) ta có: \(\Delta = 1 - 8a\).

Vì \(a > \dfrac{1}{8} \Rightarrow - 8a < - 1 \Leftrightarrow 1 - 8a < 0\), do đó phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy \(x = 1\) là 1 số nguyên dương (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link