Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Hai đường cao của \(\Delta ABC\) là \(AD,\,\,BE\) cắt nhau tại
Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Hai đường cao của \(\Delta ABC\) là \(AD,\,\,BE\) cắt nhau tại \(H\,\,\,\left( {D \in BC,\,\,\,E \in AC} \right).\)
a) Chứng minh \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh \(HA.HD = HB.HE.\)
c) Gọi điểm \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDHE.\) Chứng minh \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\)
Quảng cáo
a) Chứng minh \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Ta có: \(AD,\,\,BE\) là hai đường cao của \(\Delta ABC\) (gt)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC = \left\{ D \right\}\\BE \bot AC = \left\{ E \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle ADC = \angle BEC = {90^0}\)
Xét tứ giác \(CDHE\) ta có:
\(\angle HDC + \angle HEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle CDHE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh \(HA.HD = HB.HE.\)
Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta HBD\) ta có:
\(\angle AHE = \angle BHD\) (hai góc đối đỉnh)
\(\begin{array}{l}\angle AEH = \angle BDH = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta BHD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{HE}}{{HD}} \Rightarrow AH.DH = BH.EH\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Gọi điểm \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDHE.\) Chứng minh \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\)
Xét tứ giác \(ABDE\) ta có:
\(\angle ADB = \angle AEB = {90^0}\)
Mà hai đỉnh \(D,\,\,E\) là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác
\( \Rightarrow \angle ABDE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
Lại có: \(\Delta AEB\) vuông tại \(E.\)
\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,D,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\)
Ta có: \(ABDE\) là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \angle EDC = \angle BAE\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)
Ta có: \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDHE\)
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HC.\)
\(\Delta ECH\) vuông tại \(E\) có đường trung tuyến \(EI\)
\( \Rightarrow EI = HI = \dfrac{1}{2}HC\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
\( \Rightarrow \Delta HEI\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \angle IEH = \angle IHE\) (tính chất tam giác cân)
Hay \(IEH = \angle EHC\) (2)
Tứ giác \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \angle CDE = \angle CHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\)) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\angle EDC = \angle BAE = \angle HEI\)
\(\Delta AOE\) cân tại \(O\,\,\left( {OA = OE} \right)\) \( \Rightarrow \angle OEB = \angle OBE\) (tính chất tam giác cân)
Hay \(\angle BAE = \angle OEA\)
Mà \(\angle OBE + \angle BAE = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle OEB + \angle HEI = {90^0}\)
Hay \(OE \bot EI\)
\( \Rightarrow EI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính\(AB.\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
