Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(A\) là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ

Câu hỏi số 425232:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(A\) là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(AD\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(E\).

a. Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp

b. Tính độ dài \(AH\) biết \(R = 3cm,AB = 4cm.\)

c. Chứng minh \(AE.AD = AH.AO\)

d. Tia \(CE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Chứng tỏ \(F\) là trung điểm của \(AH.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425232

Giải chi tiết

a. Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến, \(B,C\) là các tiếp điểm tương ứng nên \(\angle ABO = {90^0};\angle ACO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ABOC\) có \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc \(\angle ABO;\angle ACO\) đối nhau nên tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b. Tính độ dài \(AH\) biết \(R = 3cm,AB = 4cm.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A.\)

Suy ra \(AB = AC\) (tính chất), mà \(OB = OC = R\) nên \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\)

Do đó \(OA \bot BC\) tại \(H.\)

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\), theo định lý Pytago ta có: \(A{O^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\) \( \Rightarrow OA = 5cm\)

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = AH.AO\)\( \Leftrightarrow AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = 3,2cm\)

Vậy \(AH = 3,2cm\).

c. Chứng minh \(AE.AD = AH.AO\)

Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = AH.AO\) (1)

Xét tam giác \(AEB\) và tam giác \(ABD\) có:

\(\angle BAE\) chung

\(\angle ABE = \angle BDE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\) trong đường tròn \(\left( O \right)\))

Suy ra \(\Delta AEB \sim \Delta ABD\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AE.AD = A{B^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AD = AH.AO\).

d. Tia \(CE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Chứng tỏ \(F\) là trung điểm của \(AH.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle BCD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(BC \bot CD\)

Lại có \(AO \bot BC\) nên \(CD//AO\)

Suy ra \(\angle ADC = \angle OAD\) (so le trong)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle ACE = \angle EDC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EC\))

Suy ra \(\angle ACE = \angle FAE\) \(\left( { = \angle CDE} \right)\)

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta CFA\) có:

\(\angle AFE\) chung

\(\angle ACE = \angle FAE\) (cmt)

Suy ra \(\Delta AFE \sim \Delta CFA\left( {g - g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{CF}} = \dfrac{{FE}}{{FA}}\\ \Rightarrow F{A^2} = FC.FE\left( * \right)\end{array}\)

Theo câu b ta có \(AE.AD = AH.AO\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AH}} = \dfrac{{AO}}{{AD}}\)

Suy ra \(\Delta AEH \sim \Delta AOD\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \angle AHE = \angle ADO\)

Suy ra tứ giác \(EHOD\) là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Suy ra \(\angle HED = \angle BOA\) (cùng phụ với \(\angle AOD\))

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle CED = \angle CBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))

Lại có \(\angle BOH + \angle HBO = {90^0}\) (do \(\Delta BHO\) vuông tại \(H\))

Nên \(\angle EHD + \angle CED = {90^0} \Rightarrow \angle HEC = {90^0}\) hay \(EH \bot FC\)

Xét tam giác \(HFC\) vuông tại H có \(HE\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(F{H^2} = FE.FC\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(F{A^2} = F{H^2}\) \( \Leftrightarrow FA = FH \Rightarrow F\) là trung điểm \(AH\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link