Rút gọn phân thức \(A=\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z}

Câu hỏi số 427134:

Vận dụng cao

Rút gọn phân thức \(A=\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\) biết \(x + y + z = 0\).

A. \(A=1\)

B. \(A=\dfrac{1}{2}\)

C. \(A=\dfrac{1}{3}\)

D. \(A=\dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427134

Phương pháp giải

Bước 1: Bình phương điều kiện \(x + y + z = 0\) được \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = - \left( {2xy + 2yz + 2zx} \right)\)

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức phá ngoặc ở mẫu thức.

Bước 3: Thế biểu thức đã biến đổi được ở trên vào mẫu và rút gọn biểu thức.

Giải chi tiết

Điều kiện: \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne y \ne z.\)

Ta có:

\(x + y + z = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = - \left( {2xy + 2yz + 2zx} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + {x^2} + {y^2} + {z^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}} = \dfrac{1}{3}.\end{array}\)

Vậy \(A = \dfrac{1}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link