Cho hình chữ nhật \(ABCD\) tâm \(I\) và đường thẳng \(d\) cố định. Gọi \(M\) là một điểm thay

Câu hỏi số 428938:

Vận dụng cao

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) tâm \(I\) và đường thẳng \(d\) cố định. Gọi \(M\) là một điểm thay đổi trên \(d\). Khi \(\vec u = \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \) có độ dài nhỏ nhất thì

A. \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\).

B. \(M\) là hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn \(IB\) trên \(d\).

C. \(M\) là hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn \(ID\) trên \(d\).

D. \(M\) trùng với \(I\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428938

Phương pháp giải

Giả sử điểm \(G\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Áp dụng quy tắc cộng vecto.

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là điểm bất kì thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).

Ta có:

\(\vec u = \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)

\(\,\,\,\, = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + 2\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \)

\(\,\,\,\, = 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \)

\(\,\,\,\, = 4\overrightarrow {MG} \)

\( \Rightarrow \left| {\vec u} \right| = 4MG.\)

Để \(\vec u\) có độ dài nhỏ nhất thì \(MG\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M\) trùng với hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(d\).

Ta có:

\(\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} } \right) + 2\overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC} } \right) + 2\overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} = - \overrightarrow {GB} \)

\( \Rightarrow \) \(G\) là trung điểm của \(IB\).

Vậy \(M\) là hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn \(IB\) trên \(d\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.