Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\) là tham

Câu hỏi số 430661:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\) là tham số). Giả sử phương trình có 2 nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) đều khác 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{4}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\).

A. \({P_{\min }} = 8 \Leftrightarrow m = 1\)

B. \({P_{\min }} = 8 \Leftrightarrow m = 4\)

C. \({P_{\min }} = 8 \Leftrightarrow m = \sqrt5\)

D. \({P_{\min }} = 8 \Leftrightarrow m = 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430661

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1, sử dụng định lý Vi-ét để biến đổi \(P\).

- Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2.1.\left( {m + 1} \right) + {m^2} - 2m + 5 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 \ne 0\\4m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > 1\end{array} \right.\).

Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5\end{array} \right.\)

Thay vào P ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{4}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\\P = \dfrac{4}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} + {\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\\P = \dfrac{4}{{{m^2} - 2m + 5 - \left( {2m + 2} \right) + 1}} + {\left( {2m + 2 - 6} \right)^2}\\P = \dfrac{4}{{{m^2} - 4m + 4}} + {\left( {2m - 4} \right)^2}\\P = 4\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \right]\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm, ta có: \(\dfrac{1}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 2 \Rightarrow P \ge 8\).

Dấu bằng xảy ra khi \({\left( {m - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy GTNN của P bằng 8, đặt được khi \(m = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link