Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = bx + c\) với

Câu hỏi số 430660:

Vận dụng

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = bx + c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông trong đó \(a\) là độ dài cạnh huyền. Chứng minh rằng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) có hoành độ lần lượt là \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430660

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, áp dụng định lý Vi-ét và định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông để chứng minh yêu cầu đề bài.

- Xét hiệu \(P = x_1^2 + x_2^2 - 2\), chứng minh \(P < 0\).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là: \(a{x^2} = bx + c \Leftrightarrow a{x^2} - bx - c = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là 3 cạnh của tam giác vuông với cạnh huyền là \(a\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b,\,\,c > 0\\{a^2} = {b^2} + {c^2}\end{array} \right.\).

Để \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \) \(\Delta = {b^2} + 4ac > 0\) (luôn đúng với mọi \(a,\,\,b,\,\,c > 0)\).

Gọi 2 giao điểm có hoành độ là \({x_1},\,\,{x_2}\) là nghiệm của (1). Theo định lí Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - c}}{a}\end{array} \right.\).

Xét \(P = x_1^2 + x_2^2 - 2\)

\(\begin{array}{l}P = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\\P = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} + 2.\dfrac{c}{a} - 2 = \dfrac{{{b^2} + 2ac - 2{a^2}}}{{{a^2}}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{b^2} + 2ac - 2{a^2}\\ = {b^2} + 2ac - \left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}\\ = 2ac - {c^2} - {a^2} = - {\left( {c - a} \right)^2} < \forall a,\,\,c\end{array}\)

Vậy \(P < 0\) hay \(x_1^2 + x_2^2 < 2\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link