Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array}

Câu hỏi số 430696:

Vận dụng

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số). Chứng minh rằng với mọi \(m\) hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(x + 2y \le 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430696

Phương pháp giải

- Giải \(x,y\) theo \(m\) bằng phương pháp thế.

- Thay \(x,y\) vừa tìm được vào bất phương trình để chứng minh luôn đúng với mọi \(m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)x\\mx + 2 - \left( {m - 1} \right)x = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)x\\mx + 2 - mx + x = m + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)x\\x = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 1} \right)\\x = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - {m^2} + 2m + 1\\x = m - 1\end{array} \right.\)

Do đó, với mọi \(m\) hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: \(\left\{ \begin{array}{l}y = - {m^2} + 2m + 1\\x = m - 1\end{array} \right.\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}2x + y - 3 = 2\left( {m - 1} \right) - {m^2} + 2m + 1 - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - {m^2} + 4m - 4 = - {\left( {m - 2} \right)^2} \le 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2x + y - 3 \le 0 \Leftrightarrow 2x + y \le 3\)

Vậy \(2x + y \le 3\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link