Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array}

Câu hỏi số 430696:

Vận dụng

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số). Chứng minh rằng với mọi \(m\) hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(x + 2y \le 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430696

Phương pháp giải

- Giải \(x,y\) theo \(m\) bằng phương pháp thế.

- Thay \(x,y\) vừa tìm được vào bất phương trình để chứng minh luôn đúng với mọi \(m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)x\\mx + 2 - \left( {m - 1} \right)x = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)x\\mx + 2 - mx + x = m + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)x\\x = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 1} \right)\\x = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - {m^2} + 2m + 1\\x = m - 1\end{array} \right.\)

Do đó, với mọi \(m\) hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: \(\left\{ \begin{array}{l}y = - {m^2} + 2m + 1\\x = m - 1\end{array} \right.\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}2x + y - 3 = 2\left( {m - 1} \right) - {m^2} + 2m + 1 - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - {m^2} + 4m - 4 = - {\left( {m - 2} \right)^2} \le 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2x + y - 3 \le 0 \Leftrightarrow 2x + y \le 3\)

Vậy \(2x + y \le 3\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link