Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) và có \(SA = SC;\,\,SB = SD.\) Chứng

Câu hỏi số 431296:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) và có \(SA = SC;\,\,SB = SD.\) Chứng minh:

a. \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b. Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BA,\,\,BC.\) Chứng minh \(IK \bot \left( {SBD} \right)\) và \(IK \bot SD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431296

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot c\\b \cap c \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\), \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot d\), \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \left( P \right)\).

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD\).

Ta có: \(SA = SC,\,\,SB = SD \Rightarrow \Delta SAC,\,\,\Delta SBD\) cân tại \(S\).

\( \Rightarrow \) Trung tuyến \(SO\) đồng thời là đường cao nên \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Vì \(I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BA,\,\,BC\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(IK//AC\).

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SO\,\,\left( {cmt} \right)\\SO \cap BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IK//AC\\AC \bot \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {SBD} \right)\).

Mà \(SD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow IK \bot SD\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.