Cho hàm số \(y = - {x^3} + 4{x^2} + 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;1}

Câu hỏi số 434695:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = - {x^3} + 4{x^2} + 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;1} \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\). Tổng giá trị tất cả các phần tử của \(S\) bằng:

A. \(5\)

B. \(\dfrac{{40}}{9}\)

C. \(\dfrac{{16}}{9}\)

D. \(\dfrac{{20}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434695

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

\(y = - {x^3} + 4{x^2} + 1 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 8x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( d \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {m;1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow 1 = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1}\\{ \Leftrightarrow - 3mx_0^2 + 8m{x_0} + 3x_0^3 - 8x_0^2 - x_0^3 + 4x_0^2 = 0}\\{ \Leftrightarrow 2x_0^3 - \left( {3m + 4} \right)x_0^2 + 8m{x_0} = 0}\\{ \Leftrightarrow {x_0}\left[ {2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m} \right] = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\) thì phương trình (*) hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 0\) hoặc có nghiệm kép \({x_0} \ne 0\).

TH1: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {3m + 4} \right)}^2} - 64m > 0}\\{8m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{{4^2} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {luon{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dung} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 0\)

TH2: (*) có nghiệm kép \({x_0} \ne 0\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {3m + 4} \right)}^2} - 64m = 0}\\{8m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9{m^2} - 40m + 16 = 0}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 4}\\{m = \dfrac{4}{9}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(S = \left\{ {0;4;\dfrac{4}{9}} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.