Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại C ,\(\angle BAC = 30^\circ ,\)\(AB =

Câu hỏi số 434800:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại C ,\(\angle BAC = 30^\circ ,\)\(AB = a\sqrt 3 ,\)\(AA' = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối tứ diện \(MACC'\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434800

Phương pháp giải

So sánh chiều cao và diện tích đáy với hình lăng trụ.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{MACC'}} = {V_{A.CC'M}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{CC'M}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right).\dfrac{1}{2}d\left( {M;CC'} \right).CC'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{BCC'B'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{V_{A.BCC'B'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\end{array}\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(C\) có \(\angle BAC = {30^0} = \angle ABC \Rightarrow \angle ACB = {120^0}\).

Áp dụng định lí Sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\dfrac{{AC}}{{\sin B}} = \dfrac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AC = \dfrac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sin {{30}^0}}}{{\sin {{120}^0}}} = a\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a.\sin {30^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{MACC'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.