Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} + 7m{x^2} +

Câu hỏi số 434816:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} + 7m{x^2} + 14x - m + 2\) nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

A. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right]\)

C. \(\left[ { - 2; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right]\)

D. \(\left[ { - \dfrac{{14}}{{15}}; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434816

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = m{x^2} + 14mx + 14\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} + 14mx + 14 \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 14x} \right) + 14 \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 14x} \right) \le - 14\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 14x}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\\\left( {Do\,\,{x^2} + 14x > 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 14x}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{14.\left( {2x + 14} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 14x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = - 7 \notin \left[ {1; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = - \dfrac{{14}}{{15}}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le - \dfrac{{14}}{{15}}\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.