Giải phương trình: \(3\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + x + 3} - 3{x^2} - 4x - 7 = 0\).

Câu hỏi số 438435:

Vận dụng

A. Phương trình vô nghiệm.

B. \(x \in \left\{ {\pm \dfrac{{7}}{3}} \right\}\).

C. \(x \in \left\{ {2,\dfrac{{7}}{3}} \right\}\).

D. \(x = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438435

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đặt 2 ẩn phụ \(a = x + 1;\,\,\,b = \sqrt {{x^2} + x + 3} \,\,\,\left( {b \ge 0} \right).\)

- Đưa phương trình thành phương trình tích. Giải phương trình biểu diễn \(a\) theo \(b\).

- Từ mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\) giải phương trình tìm \(x\).

- Giải phương trình chứa căn dạng \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

ĐK: \({x^2} + x + 3 \ge 0\) (luôn đúng).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + x + 3} - 3{x^2} - 4x - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + x + 3} - \left( {3{x^2} + 4x + 7} \right) = 0\end{array}\)

Đặt \(a = x + 1;\,\,\,b = \sqrt {{x^2} + x + 3} \,\,\,\left( {b \ge 0} \right).\)

Ta có: \({a^2} + 2{b^2} = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 3{x^2} + 4x + 7\)

Phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3ab - {a^2} - 2{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 3ab + 2{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - ab - 2ab + 2{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {a - b} \right) - 2a\left( {a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = 2b\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a = b\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + 1 = \sqrt {{x^2} + x + 3} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 = {x^2} + x + 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

TH2: \(a = 2b\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + 1 = 2\sqrt {{x^2} + x + 3} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 = 4{x^2} + 4x + 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\3{x^2} + 2x + 11 = 0\,\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 2\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link