Giải phương trình: \(5\sqrt {{x^3} + 1} = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\).

Câu hỏi số 438434:

Vận dụng

A. \(x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}\).

B. \(x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {19} }}{2}\).

C. \(x \in \left\{ {4,\dfrac{{2-\sqrt {17}}}{3}} \right\}\).

D. \(x = \dfrac{{2 - \sqrt {22} }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438434

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đặt 2 ẩn phụ \(\sqrt {x + 1} = a;\,\,\,\sqrt {{x^2} - x + 1} = b\,\,\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\), biến đổi và đưa phương trình về phương trình tích. Giải phương trình và biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.

- Thay ngược lại \(x\) vào mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\) vừa biểu diễn được, giải phương trình chứa căn để tìm \(x\), sử dụng phương pháp bình phương hai vế.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge - 1\).

Ta có: \(5\sqrt {{x^3} + 1} = 2\left( {{x^2} + 2} \right) \Leftrightarrow 5\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Đặt \(\sqrt {x + 1} = a;\,\,\sqrt {{x^2} - x + 1} = b\,\,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^2} + 2\).

Thay vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,5ab = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 5ab + 2{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - ab - 4ab + 2{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {2a - b} \right) - 2b\left( {2a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2a - b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a = b\\a = 2b\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(2a = b\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ \Leftrightarrow 4x + 4 = {x^2} - x + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 3 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = 37 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}\,\,\left( {TM} \right)\).

TH2: \(a = 2b\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {x + 1} = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} \\ \Leftrightarrow x + 1 = 4{x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = - 23 < 0 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link