Cho các số dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn các điều kiện: \(x + y + z = 2\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2}

Câu hỏi số 438444:

Vận dụng

Cho các số dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn các điều kiện: \(x + y + z = 2\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\). Tính giá trị biểu thức:

\(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438444

Phương pháp giải

Từ điều kiện đề bài cho suy ra các điều kiện khác rồi thay vào P, kết hợp với rút gọn.

Giải chi tiết

Xét \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)\).

\( \Rightarrow xy + yz + zx = \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2}\).

Thay \(x + y + z = 2\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\) ta có: \(xy + yz + zx = 1\).

Thay \(xy + yz + zx = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} \\ = x\sqrt {\dfrac{{\left( {xy + yz + zx + {y^2}} \right)\left( {xy + yz + zx + {z^2}} \right)}}{{xy + yz + zx + {x^2}}}} \\ = x\sqrt {\dfrac{{\left[ {x\left( {y + z} \right) + y\left( {y + z} \right)} \right]\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right]}}{{xy + yz + zx + {x^2}}}} \\ = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\,\,\left( {Do\,\,y,\,\,z > 0} \right)\end{array}\)

Tương tự ta có:

\(y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} = y\left( {z + x} \right)\)

\(z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} = z\left( {x + y} \right)\)

Khi đó ta có: \(P = xy + xz + yz + yx + zx + zy = 2\left( {xy + yz + xz} \right) = 2\).

Vậy \(P = 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link