Cho các số dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn các điều kiện: \(x + y + z = 2\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2}

Câu hỏi số 438444:

Vận dụng

Cho các số dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn các điều kiện: \(x + y + z = 2\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\). Tính giá trị biểu thức:

\(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438444

Phương pháp giải

Từ điều kiện đề bài cho suy ra các điều kiện khác rồi thay vào P, kết hợp với rút gọn.

Giải chi tiết

Xét \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)\).

\( \Rightarrow xy + yz + zx = \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2}\).

Thay \(x + y + z = 2\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\) ta có: \(xy + yz + zx = 1\).

Thay \(xy + yz + zx = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} \\ = x\sqrt {\dfrac{{\left( {xy + yz + zx + {y^2}} \right)\left( {xy + yz + zx + {z^2}} \right)}}{{xy + yz + zx + {x^2}}}} \\ = x\sqrt {\dfrac{{\left[ {x\left( {y + z} \right) + y\left( {y + z} \right)} \right]\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right]}}{{xy + yz + zx + {x^2}}}} \\ = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\,\,\left( {Do\,\,y,\,\,z > 0} \right)\end{array}\)

Tương tự ta có:

\(y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} = y\left( {z + x} \right)\)

\(z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} = z\left( {x + y} \right)\)

Khi đó ta có: \(P = xy + xz + yz + yx + zx + zy = 2\left( {xy + yz + xz} \right) = 2\).

Vậy \(P = 2\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link