Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất có ba chữ số, sao cho n chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư

Câu hỏi số 439170:

Vận dụng cao

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất có ba chữ số, sao cho n chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 8.

A. \(n = 203\)

B. \(n = 204\)

C. \(n = 202\)

D. \(n = 201\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:439170

Phương pháp giải

Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},\,\,100 \le n \le 999.\)

Từ \(n\) chia cho \(11\) thì dư \(5,\) suy ra \(n + 6\,\, \vdots \,\,11\).

\(n\) chia cho \(13\) thì dư \(8,\) suy ra \(n + 5\,\, \vdots \,\,13\).

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng để suy ra được \(n + 83\,\, \vdots \,\,11\), \(n + 83\,\, \vdots \,\,13\).

Từ đó suy ra được \(n + 83\,\, \vdots \,\,BCNN\left( {11,\,\,13} \right)\).

Tìm \(BCNN\left( {11;\,\,13} \right),\) từ đó tìm được \(n.\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},\,\,100 \le n \le 999.\)

Từ \(n\) chia cho \(11\) thì dư \(5,\) suy ra \(n + 6\,\, \vdots \,\,11\).

\(n\) chia cho \(13\) thì dư \(8,\) suy ra \(n + 5\,\, \vdots \,\,13\).

Ta có: \(n + 6\,\, \vdots \,\,11\)\( \Leftrightarrow \left( {n + 6} \right) + 77\,\, \vdots \,\,11\)\( \Leftrightarrow n + 83\,\, \vdots \,\,11\) (1)

\(n + 5\,\, \vdots \,\,13\)\( \Leftrightarrow \left( {n + 5} \right) + 78\,\, \vdots \,\,13\)\( \Leftrightarrow n + 83\,\, \vdots \,\,13\) (2)

Lại có: \(n\) là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(n + 83\,\, \vdots \,\,BCNN\left( {11,\,\,13} \right)\)

Ta có: \(UCLN\left( {11;\,13} \right) = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {13;\,11} \right) = 13.11 = 143\\ \Rightarrow n + 83\,\, \vdots \,\,143\\ \Rightarrow n = 143k - 83\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\end{array}\)

+) Với \(k = 1\) \( \Rightarrow n = 143 - 83 = 60\) là số có hai chữ số nên \(n = 60\) không thỏa mãn.

+) Với \(k = 2\) \( \Rightarrow n = 143.2 - 83 = 203\) là số có ba chữ số

\( \Rightarrow n = 203\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(n = 203\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link