Tìm bộ ba số \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z \le 9\\\sqrt {x - 1} +

Câu hỏi số 442502:

Vận dụng cao

Tìm bộ ba số \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z \le 9\\\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 2} + \sqrt {z - 3} + 5x + 4y + 3z = xy + yz + xz + 11.\end{array} \right.\)

A. \(\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\)

B. \(\left( {2;\,\,3;\,\,4} \right)\)

C. \(\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) và \(\left( {2;\,\,3;\,\,4} \right)\)

D. \(\left( {2;\,\,2;\,\,2} \right)\) và \(\left( {2;\,\,3;\,\,4} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442502

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \ge 2\\z \ge 3\\6 \le x + y + z \le 9\end{array} \right..\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = a\\y - 2 = b\\z - 3 = c\end{array} \right.\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ge 0} \right)\)

Ta có: \(6 \le x + y + z \le 9\) \( \Rightarrow 0 \le a + b + c \le 3.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c + 5\left( {a + 1} \right) + 4\left( {b + 2} \right) + 3\left( {c + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 2} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {c + 3} \right) + \left( {a + 1} \right)\left( {c + 3} \right) + 11\\ \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c + 5a + 5 + 4b + 8 + 3c + 9\\\,\,\,\, = ab + 2a + b + 2 + bc + 3b + 2c + 6 + ac + 3a + c + 3 + 11\\ \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c + 5a + 4b + 3c + 22\\\,\,\,\,\, = ab + bc + ca + 5a + 4b + 3c + 22\\ \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = ab + bc + ca\end{array}\)

Với \(\forall a \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - 1} \right)^2}\left( {a + 2\sqrt a } \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\left( {a + 2\sqrt a } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a\sqrt a - 2a\sqrt a - 4a + a + 2\sqrt a \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2\sqrt a \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a \ge 3a - {a^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a \ge a\left( {3 - a} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a \ge a\left( {a + b + c - a} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a \ge a\left( {b + c} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt b \ge b\left( {c + a} \right)\,\,\,\,\left( 4 \right)\\2\sqrt c \ge c\left( {a + b} \right)\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của \(\left( 3 \right),\,\,\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) ta được:

\(2\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \ge ab + bc + ca\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = c = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 2 = 0\\z - 3 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 2 = 1\\z - 3 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy các cặp \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right)\) thỏa mãn bài toán là: \(\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) và \(\left( {2;\,\,3;\,\,4} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link