Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = - x + m\) cắt đồ thị

Câu hỏi số 444556:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = - x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(O{A^2} + O{B^2} = 8\)?

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(3.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444556

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm.

- Tìm giao điểm \(A,B\), từ đó thay vào đẳng thức bài cho tìm \(m\).

Chú ý định lý Viet cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm :

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - x + m\,\,\,\,\,\left( {DK:x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2 = \left( {x - 1} \right)\left( { - x + m} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2 = - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại \(2\) điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - m.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 8 > 0,\forall m\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.\)

Do đó với mọi \(m\) thì đường thẳng \(y = - x + m\) luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt \(A,B\) với \(A\left( {{x_1}; - {x_1} + m} \right),B\left( {{x_2}; - {x_2} + m} \right)\) và \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\) (định lí Vi-ét).

Ta có :

\(\begin{array}{l}OA = \sqrt {x_1^2 + {{\left( { - {x_1} + m} \right)}^2}} ;\,\,\,OB = \sqrt {x_2^2 + {{\left( { - {x_2} + m} \right)}^2}} \\ \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = 8\\ \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( { - {x_1} + m} \right)^2} + x_2^2 + {\left( { - {x_2} + m} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2x_1^2 + 2x_1^2 - 2m{x_1} - 2m{x_2} + 2{m^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 8\\ \Rightarrow 2\left[ {{m^2} - 2\left( {m - 2} \right)} \right] - 2m.m + {m^2} = 8\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 8 - 2{m^2} + {m^2} = 8\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.