Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(3a\), \(SA = a\), \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 444555:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(3a\), \(SA = a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC;\)\(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SC\). Thể tích của khối tứ diện \(AMNG\) bằng

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}.\)

C. \(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}.\)

D. \(\frac{{9\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444555

Phương pháp giải

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

- Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

- Tính tỉ số thể tích các khối chóp \(A.MNE\) và \(A.CBS\), từ đó suy ra \({V_{AMNE}}\) .

- Tính tỉ số \(\frac{{{V_{AMNG}}}}{{{V_{AMNE}}}}\), từ đó suy ra thể tích \({V_{AMNG}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có : \(\Delta MNE\) đồng dạng \(\Delta CBS\) theo tỉ số \(\frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{CBS}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{V_{A.MNE}}}}{{{V_{A.CBS}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{MNE}}.d\left( {A,\left( {MNE} \right)} \right)}}{{\frac{1}{3}{S_{CBS}}.d\left( {A,\left( {CBS} \right)} \right)}} = \frac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{CBS}}}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {V_{AMNE}} = \frac{1}{4}{V_{A.CBS}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABC}}\end{array}\)

Mà \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {3a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{AMNE}} = \frac{1}{4}.\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)

Lại có : \(\frac{{{V_{AMNG}}}}{{{V_{AMNE}}}} = \frac{{AM}}{{AM}}.\frac{{AN}}{{AN}}.\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {V_{AMNG}} = \frac{2}{3}{V_{AMNE}} = \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.