Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} + x + 2} \)

Câu hỏi số 447887:

Vận dụng cao

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(2\sqrt 3 \)

C. \(\sqrt 2 \)

D. \(2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:447887

Phương pháp giải

Bình phương biểu thức và xét dấu

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{T^2} = {\left( {\sqrt {{x^2} - x + 2} + \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)^2}\\ = 2{x^2} + 4 + 2\sqrt {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2} - {x^2}} \\ = 2\left( {{x^2} + 2} \right) + 2\sqrt {{x^4} + 3{x^2} + 4} \\ = 2\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right) + 1 + 2\sqrt {\left( {{x^4} + 3{x^2} + \frac{9}{4}} \right) + \frac{7}{4}} \\ = 2\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right) + 1 + 2\sqrt {{{\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}} \end{array}\)

Do \(\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right) \ge \frac{3}{2};\sqrt {{{\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}} \ge 2\)\( \Rightarrow 2\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right) + 1 + 2\sqrt {{{\left( {{x^2} + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}} \)\( \ge 2.\frac{3}{2} + 1 + 2.2 = 8 \Rightarrow T \ge 8\)

Do \(T > 0\) nên \(T \ge 2\sqrt 2 \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link