Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực không âm thay đổi thỏa mãn \(x + y = 1.\) Giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 449950:

Thông hiểu

Cho \(x,\,\,y\) là hai số thực không âm thay đổi thỏa mãn \(x + y = 1.\) Giá trị lớn nhất của \(x.y\) là:

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(1\)

C. \(0\)

D. \(\dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449950

Phương pháp giải

- Rút \(x\) theo \(y\) hoặc ngược lại.

- Thế vào biểu thức \(x.y\), đưa biểu thức về 1 biến.

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số trên 1 đoạn.

Giải chi tiết

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x,\,\,y \ge 0\\x + y = 1\end{array} \right. \Rightarrow 0 \le x,y \le 1\) và \(y = 1 - x\).

Khi đó ta có \(x.y = x.\left( {1 - x} \right) = - {x^2} + x = f\left( x \right)\), với \(0 \le x \le 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) = - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \in \left[ {0;1} \right]\).

\(f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4};\,\,f\left( 1 \right) = 0\).

Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4}\) hay giá trị lớn nhất của \(x.y\) là \(\dfrac{1}{4}\), đạt được khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\).

Chú ý khi giải

Các em HS có thể giải quyết bài toán trên bằng cách sử dụng BĐT như sau:

\(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.