Cho hình chóp \(S.ABC\). Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\,\,AC = 2a\). Đường thẳng \(SA\)

Câu hỏi số 452665:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\). Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\,\,AC = 2a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = a\). Khi đó, cosin của góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có giá trị là:

A. \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\)

B. \(\sqrt {\dfrac{2}{5}} \)

C. \(\sqrt {\dfrac{2}{3}} \)

D. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452665

Phương pháp giải

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC\).

Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot SB\) \( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) \( \Rightarrow AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SAB\) có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông \(SBC\) có: \(\tan \angle BSC = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt {\dfrac{2}{3}} \).

\( \Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \sqrt {\dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\widehat {BSC}}}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.