Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{2 -

Câu hỏi số 452669:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \dfrac{{2x + 3\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\).

1. Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 16\).

2. Chứng minh rằng \(B = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\)

3. Tìm tất cả các giá trị của x để \(A.B \ge - 2\).

A. \(\begin{array}{l}1.\,\,A = \dfrac{1}{2}\\3.\,\,x > 4\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}1.\,\,A = \dfrac{2}{3}\\3.\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x > 4\end{array} \right.\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}1.\,\,A = \dfrac{1}{2}\\3.\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}1.\,\,A = \dfrac{1}{3}\\3.\,\,\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 4\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452669

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 16\) vào biểu thức A và thực hiện phép tính.

b) Quy đồng mẫu thức, thực hiện phép cộng trừ phân thức và rút gọn.

c) Giải bất phương trình \(A.B \ge - 2\). Chú ý đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

1. Tính giá trị của A khi \(x = 16\).

Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 4\)

Thay \(x = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào \(A\) được \(A = \dfrac{4}{{\sqrt {16} + 2}} = \dfrac{4}{{4 + 2}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).

Vậy với \(x = 16\) thì \(A = \dfrac{2}{3}.\)

2. Chứng minh rằng \(B = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).

Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 4\)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \dfrac{{2x + 3\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2x + 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 2x + 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{3\sqrt x - 6 - x - 2\sqrt x + 2x + 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\)

3. Tìm tất cả các giá trị của x để \(A.B \ge - 2\).

Điều kiện: \(x \ge 0;{\rm{ }}x \ne 4\):

\(\begin{array}{l}A.B \ge - 2 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} \ge - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt x - 2}} + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4 + 2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \ge 0\\\sqrt x - 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x - 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x > 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Đối chiếu với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\) ta thấy \(x = 0\) hoặc \(x > 4\) thỏa mãn bài toán.

Vậy để \(A.B \ge - 2\) thì \(x = 0\) hoặc \(x > 4\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link