Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và \(\angle BAD = {60^0}\). Mặt chéo

Câu hỏi số 460182:

Vận dụng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và \(\angle BAD = {60^0}\). Mặt chéo ACC’A’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời ACC’A’ cũng là hình thoi có \(\angle A'AC = {60^0}\). Thể tích khối tứ diện ACB’D’ là:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460182

Phương pháp giải

- Sử dụng kiến thức: \({V_{ACB'D'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\).

- Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right) = d\\a \subset \left( P \right),\,\,a \bot d\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\).

- Tính thể tích khối lăng trụ = tích chiều cao và diện tích đáy tương ứng.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm của AC và BD.

Vì ACC’A’ là hình thoi nên AA’ = AC, lại có \(\angle A'AC = {60^0}\) (gt) nên \(\Delta A'AC\) là tam giác đều \( \Rightarrow A'O \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AC\\A'O \subset \left( {ACC'A'} \right),\,\,A'O \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow A'O \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét tam giác ABC có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), \(\angle BAD = {60^0}\,\left( {gt} \right)\) nên tam giác ABC đều cạnh a.

\( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \) và \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \Delta A'AC\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow A'O = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Vậy \({V_{ACB'D'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{3}.A'O.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.