Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\). Tìm m để mọi bộ ba số phân biệt a, b, c thuộc

Câu hỏi số 460179:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\). Tìm m để mọi bộ ba số phân biệt a, b, c thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) thì \(f\left( a \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

A. \(m \le - 22\)

B. \(m < - 2\)

C. \(m < 34\)

D. \(m < - 22\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460179

Phương pháp giải

- Tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y;\,\,\mathop {\max }\limits_{a\left[ { - 1;3} \right]} y\).

- Để \(f\left( a \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( a \right) + f\left( b \right) > f\left( c \right)\end{array} \right.\) .

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 2 - m;\,\,y\left( 1 \right) = - 2 - m;\,\,y\left( 3 \right) = 18 - m\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = - 2 - m;\,\,\mathop {\max }\limits_{a\left[ { - 1;3} \right]} y = 18 - m\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(f\left( a \right) \le f\left( b \right) \le f\left( c \right)\).

Vì \(a,\,\,b,c\,\, \in \left[ { - 1;3} \right]\) nên \( - 2 - m \le f\left( a \right) \le f\left( b \right) \le f\left( c \right) \le 18 - m\).

Để \(f\left( a \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( a \right) + f\left( b \right) > f\left( c \right)\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\) .

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - 2 - m \le f\left( a \right)\\ - 2 - m \le f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( a \right) + f\left( b \right) \ge - 4 - 2m\].

Do đó (*) luôn đúng khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 - m > 0\\ - 4 - 2m \ge 18 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 2\\m \le - 22\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 22\) .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.