Bất phương trình \(\sqrt x + \sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4x - {x^2}} \ge 2\) có tập nghiệm \(S = \left[

Câu hỏi số 461721:

Vận dụng

Bất phương trình \(\sqrt x + \sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4x - {x^2}} \ge 2\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;\,\,b} \right],\,\,a < b\).

Tính \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\).

A. \(1\)

B. \({2^{4038}}\)

C. \({2^{2019}}\)

D. \({4^{4038}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:461721

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ và giải bất phương trình bằng cách đặt \(t = \sqrt x + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\)

Đặt \(t = \sqrt x + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow {t^2} = x + 2.\sqrt x .\sqrt {4 - x} + 4 - x\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\sqrt {x\left( {4 - x} \right)} + 4\)\( = 2\sqrt {4x - {x^2}} + 4\)

Bất phương trình trở thành:

\(t + {t^2} - 4 \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(t \ge 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}} + 4 \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x - {x^2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x - {x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {0;\,\,4} \right]\)\( \Rightarrow a = 0;\,\,b = 4\)

Thay \(a = 0,\,\,b = 4\) vào biểu thức \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\) ta được: \(P = {0^{2019}} + {4^{2019}}\)\( = {\left( {{2^2}} \right)^{2019}} = {2^{4038}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.