Cho \(a,b,c > 0\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \sqrt

Câu hỏi số 462752:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \sqrt {\dfrac{{a + b}}{{c + ab}}} + \sqrt {\dfrac{{b + c}}{{a + bc}}} + \sqrt {\dfrac{{c + a}}{{b + ca}}} \)

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462752

Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức AM – GM kết hợp giả thiết.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(4\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right) \le \)\({\left( {c + a + ab + bc} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + c} \right)\left( {b + 1} \right)} \right]^2}\)

\(4\left( {b + ac} \right)\left( {c + ab} \right)\)\( \le {\left( {b + c + ac + ab} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {b + c} \right)\left( {a + 1} \right)} \right]^2}\)

\(4\left( {a + bc} \right)\left( {b + ac} \right)\)\( \le {\left( {a + b + ac + bc} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {c + 1} \right)} \right]^2}\)

Nhân vế với vế ta được \({\left[ {8\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right)\left( {b + ca} \right)} \right]^2}\)\( \le {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]^2}{\left[ {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} \right]^2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right)\left( {b + ca} \right)}}\)\( \ge \dfrac{8}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số dương ta có:

\(6 = \left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right)\)\( \ge 3\sqrt[3]{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\)\( \Rightarrow 8 \ge \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(P = \sqrt {\dfrac{{a + b}}{{c + ab}}} + \sqrt {\dfrac{{b + c}}{{a + bc}}} + \sqrt {\dfrac{{c + a}}{{b + ca}}} \) \( \ge 3\sqrt[3]{{\sqrt {\dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right)\left( {b + ca} \right)}}} }} \ge 3\) (do \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\))

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1\).

Vậy \(Min\,P = 3\) khi \(a = b = c = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link