Chứng minh rằng nếu \(m,n\) là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) thì \(2m + 2n + 1\)

Câu hỏi số 462751:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng nếu \(m,n\) là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) thì \(2m + 2n + 1\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462751

Phương pháp giải

Biến đôi giả thiết \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\)\( \Leftrightarrow (2m + 2n + 1)(m - n) = {n^2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) \( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + \left( {m - n} \right) = {n^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {2m + 2n + 1} \right)\left( {m - n} \right) = {n^2}\)

Xét \(n = 0 \Rightarrow m = 0\). Khi đó \(2m + 2n + 1 = 1 = {1^2}\) là số chính phương.

Xét \(n > 0\). Gọi \(\left( {2m + 2n + 1,m - n} \right)\)\( = d;d \in N*\).

Khi đó: \({n^2} = \left( {2m + 2n + 1} \right)\left( {m - n} \right)\,\, \vdots \,\,{d^2}\)\( \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,d\)

\( \Rightarrow m = \left( {m - n} \right) + n \vdots d\)\( \Rightarrow 2m + 2n\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow 1 = \left( {2m + 2n + 1} \right) - \left( {2m + 2n} \right)\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow d = 1\)

Vậy \(\left( {2m + 2n + 1,m - n} \right) = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 2n + 1 = {a^2}\\m - n = {b^2}\end{array} \right.\)\(;\left( {a,b} \right) = 1;a,b \in N*;ab = n\)

Khi đó \(2m + 2n + 1 = {a^2}\)là số chính phương (điều phải chứng minh).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link