Chứng minh rằng nếu \(m,n\) là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) thì \(2m + 2n + 1\)

Câu hỏi số 462751:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng nếu \(m,n\) là 2 số tự nhiên thỏa mãn: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) thì \(2m + 2n + 1\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462751

Phương pháp giải

Biến đôi giả thiết \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\)\( \Leftrightarrow (2m + 2n + 1)(m - n) = {n^2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(2{m^2} + m = 3{n^2} + n\) \( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + \left( {m - n} \right) = {n^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {2m + 2n + 1} \right)\left( {m - n} \right) = {n^2}\)

Xét \(n = 0 \Rightarrow m = 0\). Khi đó \(2m + 2n + 1 = 1 = {1^2}\) là số chính phương.

Xét \(n > 0\). Gọi \(\left( {2m + 2n + 1,m - n} \right)\)\( = d;d \in N*\).

Khi đó: \({n^2} = \left( {2m + 2n + 1} \right)\left( {m - n} \right)\,\, \vdots \,\,{d^2}\)\( \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,d\)

\( \Rightarrow m = \left( {m - n} \right) + n \vdots d\)\( \Rightarrow 2m + 2n\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow 1 = \left( {2m + 2n + 1} \right) - \left( {2m + 2n} \right)\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow d = 1\)

Vậy \(\left( {2m + 2n + 1,m - n} \right) = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 2n + 1 = {a^2}\\m - n = {b^2}\end{array} \right.\)\(;\left( {a,b} \right) = 1;a,b \in N*;ab = n\)

Khi đó \(2m + 2n + 1 = {a^2}\)là số chính phương (điều phải chứng minh).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link