Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = AD = a\sqrt 2 ,\) \(A'A = a\). Tính theo \(a\) khoảng

Câu hỏi số 469438:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = AD = a\sqrt 2 ,\) \(A'A = a\). Tính theo \(a\) khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(AC\).

A. \(d = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(d = a\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469438

Phương pháp giải

- Chứng minh \(d\left( {A'B;AC} \right) = d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)\).

- Chứng minh \(AC \bot \left( {ODD'} \right)\) với \(O = AC \cap BD\), trong \(\left( {ODD'} \right)\) kẻ \(OH \bot OD'\), chứng minh \(d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right) = OH\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Ta có \(CD'//A'B\) nên \(d\left( {A'B;AC} \right) = d\left( {A'B;\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(O\) là trung điểm của \(BD\).

Vì \(BD \cap \left( {ACD'} \right) = O\) nên \(\dfrac{{d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)}} = \dfrac{{BO}}{{DO}} = 1 \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ODD'} \right)\) kẻ \(DH \bot OD'\,\,\left( {H \in OD'} \right)\).

Vì \(AB = AD = a\sqrt 2 \) nên \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD\), lại có \(AC \bot DD'\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {ODD'} \right) \Rightarrow AC \bot DH\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DH \bot AC\\DH \bot OD'\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {ACD'} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {ACD'} \right)} \right) = DH\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(BD = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a \Rightarrow OD = a\).

\( \Rightarrow OD = DD' = a \Rightarrow \Delta ODD'\) vuông cân tại \(D\) \( \Rightarrow DH = \dfrac{{OD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {A'B';AC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.