Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;0} \right)\), \(C\left( {3; -

Câu hỏi số 469722:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;0} \right)\), \(C\left( {3; - 1;2} \right)\) và điểm \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x - y + 2z + 7 = 0\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\).

A. \({P_{\min }} = 20\)

B. \({P_{\min }} = 5\)

C. \({P_{\min }} = 25\)

D. \({P_{\min }} = 27\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469722

Phương pháp giải

- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

- Biến đổi, chứng minh \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow MI = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)\).

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {1 - x} \right) + 5\left( { - 1 - x} \right) - 7\left( {3 - x} \right) = 0\\3\left( {1 - y} \right) + 5\left( {2 - y} \right) - 7\left( { - 1 - y} \right) = 0\\3\left( {1 - z} \right) + 5\left( {0 - z} \right) - 7\left( {2 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 23\\y = 20\\z = - 11\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 23;20; - 11} \right)\).

Xét \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 5\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) - 7\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\)

\( = \left| {\overrightarrow {MI} + \left( {3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\(

\({P_{\min }}\) khi \(MI\) ngắn nhất hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Khi đó \({P_{\min }} = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 23} \right) - 20 + 2.\left( { - 11} \right) + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 27\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.