Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( {0;3; - 1}

Câu hỏi số 469725:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( {0;3; - 1} \right)\). Điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z - 4 = 0\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất là:

A. \(M\left( {1;0;2} \right)\)

B. \(M\left( {0;1;3} \right)\)

C. \(M\left( {1;2;0} \right)\)

D. \(M\left( {3;0;2} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469725

Phương pháp giải

- Chứng minh \(A,\,\,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z - 4 = 0\).

- Sử dụng BĐT tam giác: \(MA + MB \ge AB\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng \( \Rightarrow M = AB \cap \left( P \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AB\), tham số hóa tọa độ điểm \(M \in AB\), cho \(M \in \left( P \right)\) tìm \(t\) và suy ra tọa độ điểm \(M\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {2.2 + 1 + 1 - 4} \right)\left( {2.0 + 3 - 1 - 4} \right) < 0\) nên \(A\left( {2;1;1} \right),\,\,B\left( {0;3; - 1} \right)\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + y + z - 4 = 0\).

Khi đó ta có \(MA + MB \ge AB\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng \( \Rightarrow M = AB \cap \left( P \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {2;1;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M \in AB \Rightarrow M\left( {2 + t;1 - t;1 + t} \right)\).

Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {2 + t} \right) + 1 - t + 1 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow 2t = - 2 \Leftrightarrow t = - 1\).

Vậy \(M\left( {1;2;0} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.