Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy \(AB = 8,\) cạnh bên bằng
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy \(AB = 8,\) cạnh bên bằng \(\sqrt 6 \) (minh họa như hình vẽ). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(A'C'\). Khoảng cách từ \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(d\left( {A;\left( {BB'M} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right) = AN\).
- Tính \({V_{A.BB'M}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right).{S_{\Delta BB'M}} = {V_{B'.ABM}}\).
- Sử dụng \(d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{\Delta ABM}}}}\).
- Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABM}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AB} \right)\left( {p - BM} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABM\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(\left( {BB'M} \right) \equiv \left( {BB'MN} \right)\) nên \(d\left( {A;\left( {BB'M} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right)\).
Vì tam giác ABC đều nên \(AN \bot BN\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AN \bot BN\\AN \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AN \bot \left( {BB'MN} \right)\) nên \(d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right) = AN = 4\)
Ta lại có \(BN = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 ,\,\,MN = AA' = \sqrt 6 \) nên \({S_{BB'MN}} = MN.BN = \sqrt 6 .4\sqrt 3 = 12\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {S_{\Delta BB'M}} = 6\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {V_{A.BB'M}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {BB'MN} \right)} \right).{S_{\Delta BB'M}} = \dfrac{1}{3}.4.12\sqrt 2 = 16\sqrt 2 = {V_{B'.ABM}}\)
Lại có \({V_{B'.ABM}} = \dfrac{1}{3}d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right).{S_{\Delta ABM}}\) nên \(d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{\Delta ABM}}}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}AM = \sqrt {A'{A^2} + A'{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {22} \\AB = 8\\BM = \sqrt {BB{'^2} + B'{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3\sqrt 6 \end{array}\)
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác ABM ta có \(p = \dfrac{{\sqrt {22} + 8 + 3\sqrt 6 }}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABM}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AB} \right)\left( {p - BM} \right)} = 12\sqrt 2 \).
Vậy \(d\left( {B';\left( {ABM} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{B'.ABM}}}}{{{S_{\Delta ABM}}}} = \dfrac{{3.16\sqrt 2 }}{{12\sqrt 2 }} = 4\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
