Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n\), số \(A = {11^n} + {7^n} - {2^n} - 1\) chia hết cho

Câu hỏi số 476023:

Vận dụng

Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n\), số \(A = {11^n} + {7^n} - {2^n} - 1\) chia hết cho \(15.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476023

Phương pháp giải

Sử dụng đồng dư thức.

Giải chi tiết

\(A = {11^n} + {7^n} - {2^n} - 1\)

Để chứng minh \(A \vdots 15\), ta chứng minh \(A \vdots 3\) và \(A \vdots 5\)

Ta có: \(11 \equiv 1\,(\bmod 5)\, \Rightarrow {11^n} \equiv 1\,(\bmod 5) \Rightarrow {11^n} - 1 \vdots 5\,\,\,\,(*)\)

Lại có: \(7 \equiv 2\,(\bmod 5) \Rightarrow {7^n} \equiv {2^n}\,(\bmod 5) \Rightarrow {7^n} - {2^n} \vdots 5\,\,(**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) \( \Rightarrow ({11^n} - 1 + {7^n} - {2^n}) \vdots 5\)

Vậy \(A \vdots 5.\)

Ta có: \(11 \equiv 2\,(\bmod 3)\, \Rightarrow {11^n} \equiv {2^n}\,(\bmod 3) \Rightarrow {11^n} - {2^n}\, \vdots 3\,\,\,\,(***)\)

Lại có: \(7 \equiv 1\,(\bmod 3) \Rightarrow {7^n} \equiv 1\,(\bmod 3) \Rightarrow {7^n} - 1 \vdots 3\,\,(****)\)

Từ \((***)\) và \((****)\) \( \Rightarrow \left( {{{11}^n} - {2^n} + {7^n} - 1} \right)\,\, \vdots \,3\)

Vậy \(A\,\, \vdots \,\,3.\)

Từ đây suy ra \(A\,\, \vdots \,\,15.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link