Cho hai số nguyên dương \(m\) và \(n\) thỏa mãn \(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} > 0.\) Chứng

Câu hỏi số 476024:

Vận dụng

Cho hai số nguyên dương \(m\) và \(n\) thỏa mãn \(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} > 0.\) Chứng minh

\(\)\(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} \ge \dfrac{{3\,\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{{mn}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476024

Phương pháp giải

Phương pháp phản chứng.

Giải chi tiết

Nếu \(mn = 1\) hoặc \(mn = 2\) thì dễ thấy Bất đẳng thức đúng.

Nếu \(mn \ge 3\), giả sử tồn tại \(m,n\) nguyên dương sao cho:

\(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} < \dfrac{{3\,\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{{mn}}\)\( \Rightarrow \dfrac{m}{n} > \sqrt {11} - \dfrac{{3\,\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{3} = 3\)

Lại có : \(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} = \dfrac{{\sqrt {11} n - m}}{n} = \dfrac{{11{n^2} - {m^2}}}{{n\left( {\sqrt {11} n + m} \right)}}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(11{n^2} - {m^2} = t \Rightarrow t \in {N^*}\)

Nếu \(t = 1 \Rightarrow 11{n^2} = {m^2} + 1 \Rightarrow {m^2} + 1 \vdots 11\), vô lý vì số chính phương chia \(11\) không thể dư \(10\)\( \Rightarrow t \ge 2 \Rightarrow 11{n^2} - {m^2} \ge 2\)

Từ \((3) \Rightarrow \sqrt {11} - \dfrac{m}{n} \ge \dfrac{2}{{n\left( {\sqrt {11} n + m} \right)}}\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{{n\left( {\sqrt {11} n + m} \right)}} \le \sqrt {11} - \dfrac{m}{n} < \dfrac{{3\,\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{{mn}}\,\,\,\left( 4 \right)\)

Lại có: \(\dfrac{2}{{n\left( {\sqrt {11} n + m} \right)}} \ge \dfrac{{3\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{{mn}}\) với \(\dfrac{m}{n} \ge 3\,\,\,\left( 5 \right)\)

Thật vậy, \((5) \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {11} + 3}}{3} \ge \dfrac{{\sqrt {11} n + m}}{m}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {11} }}{3} + 1 \ge \dfrac{{\sqrt {11} n}}{m} + 1 \Leftrightarrow \dfrac{m}{n} \ge 3\) (Luôn đúng)

Ta có\((4)\) và \((5)\) mâu thuẫn với nhau \( \Rightarrow \) Giả sử tồn tại \(m,n\) nguyên dương sao cho: \(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} < \dfrac{{3\,\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{{mn}}\) là sai.

Vậy \(\sqrt {11} - \dfrac{m}{n} \ge \dfrac{{3\,\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}}{{mn}}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left( {m;n} \right) = \left( {3;1} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link