Với \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c + abc = 4,\) tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 476026:

Vận dụng

Với \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c + abc = 4,\) tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca.\)

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476026

Phương pháp giải

Giả sử \(x = \min \left\{ {x,y,z} \right\}\), kết hợp sử dụng bất đẳng thức \(AM - GM\).

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a \le b \le c\)\( \Rightarrow P = ab + bc + ca \le 3bc\)

Xét hai trường hợp

TH1: \(bc < 1 \Rightarrow P < 3.\)

TH2: \(bc \ge 1 \Rightarrow abc \ge a\) và \(P = ab + bc + ca \le {a^2} + ab + bc + ca\) \( = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right).\)

Áp dụng BĐT AM–GM cho hai số không âm, ta có

\(P \le \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) \le \dfrac{{{{\left( {a + b + a + c} \right)}^2}}}{4} \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c + abc} \right)}^2}}}{4} = 4\)

Trong cả hai trường hợp ta đều có \(P \le 4,\) dấu bằng xảy ra khi \(\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right) = \left( {0;\,\,2;\,2} \right)\) và các hoán vị

Vậy GTLN của \(P\) là 4.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link