Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} = \dfrac{{{{\left(

Câu hỏi số 476080:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2}}\\{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) + 3x + 2y = 4}\end{array}} \right.\).

A. \(S = \left\{ {\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)} \right\}.\)

B. \(S = \left\{ {\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right);\,\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)} \right\}.\)

C. \(S = \left\{ {\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right);\,\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)} \right\}.\)

D. \(S = \left\{ {\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476080

Phương pháp giải

Phân tích thành nhân tử và nhân liên hợp.

Giải chi tiết

ĐKXĐ : \(x,y \ge \dfrac{{ - 1}}{2}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) + 3x + 2y = 4\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) + 3x + 2y = 4\\ \Leftrightarrow \,\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) + 4\left( {x + y} \right) - x - 2y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \,\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y + 4} \right) - \left( {x + 2y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {x + 2y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x + 2y + 4 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Với \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\). Thay vào \((1)\) ta có :

\(\begin{array}{l}\sqrt {2\left( {1 - y} \right) + 1} + \sqrt {2y + 1} = \dfrac{{{{\left( {1 - y - y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {3 - 2y} + \sqrt {2y + 1} = \dfrac{{{{\left( {1 - 2y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {3 - 2y} + 2\sqrt {2y + 1} = 4{y^2} - 4y + 1\\ \Leftrightarrow \left[ {2\sqrt {3 - 2y} - \left( {3 - 2y} \right)} \right] + \left[ {2\sqrt {2y + 1} - \left( {2y + 1} \right)} \right] = 4{y^2} - 4y - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {3 - 2y} \right) - {{\left( {3 - 2y} \right)}^2}}}{{2\sqrt {3 - 2y} + \left( {3 - 2y} \right)}} + \dfrac{{4\left( {2y + 1} \right) - {{\left( {2y + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {2y + 1} + \left( {2y + 1} \right)}} = 4{y^2} - 4y - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - \left( {4{y^2} - 4y - 3} \right)}}{{2\sqrt {3 - 2y} + \left( {3 - 2y} \right)}} + \dfrac{{ - \left( {4{y^2} - 4y - 3} \right)}}{{2\sqrt {2y + 1} + \left( {2y + 1} \right)}} = 4{y^2} - 4y - 3\\ \Leftrightarrow \left( {4{y^2} - 4y - 3} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {3 - 2y} + \left( {3 - 2y} \right)}} + \dfrac{1}{{2\sqrt {2y + 1} + \left( {2y + 1} \right)}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 4y - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - \dfrac{1}{2}\,\, \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}}\\{y = \dfrac{3}{2}\,\, \Rightarrow x = - \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Với \(x + 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4 - 2y\). Thay vào \((1)\)ta có:

\(\sqrt {2\left( { - 4 - 2y} \right) + 1} + \sqrt {2y + 1} = \dfrac{{{{\left( { - 4 - 2y - y} \right)}^2}}}{2}\)

Do \(2\left( { - 4 - 2y} \right) + 1 = - 2\left( {2y + 1} \right) - 5 < 0\)\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ có tập hợp nghiệm là \(S = \left\{ {\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link