Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Một đường

Câu hỏi số 476081:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh \(AB,AC\) tại \(M,N\) và có tâm \(I\) thuộc cạnh \(BC\). Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\).

a) Chứng minh các điểm \(A,M,H,I,N\)cùng thuộc một đường tròn và \(HA\) là tia phân giác của góc \(MHN\).

b) Đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(BC\) cắt \(MN\) tại \(K\). Chứng minh \(AK\) đi qua trung điểm \(D\) của \(BC\).

c) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(S\). Chứng minh \(\angle BAS = \angle CAD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476081

Phương pháp giải

a) Chứng minh 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính \(AI\)và \(AM = AN\).

b) Sử dụng hệ quả của định lý Thales (Bổ đề hình thang).

c) Chứng minh \(\angle OAC = \angle BAH,\,\,\,\angle OAD = \angle HAS\).

Giải chi tiết

a) Có \(\angle AMI = \angle AHI = \angle ANI = 90^\circ \) nên \(A,M,H,I,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AI.\)

\(\Delta AIM = \Delta AIN\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow AM = AN\)

\( \Rightarrow \angle AHM = \angle AHN\) (\(2\)góc chắn \(2\) cung bằng nhau)

\( \Rightarrow HA\) là tia phân giác của\(\angle MHN\).

b) Từ \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,\,AC\) lần lượt tại \(Q,\,P\).

\(PQ \bot IK \Rightarrow QKIN,\,PNKI\,\)là hai tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle IQK = \angle INK = \angle IMK = \angle IPK\) (\(\Delta IMN\)cân)

\( \Rightarrow \Delta IPQ\) cân \( \Rightarrow K\) là trung điểm của \(PQ.\)

Theo bổ đề hình thang \((PQ//BC)\, \Rightarrow \,AK\) đi qua trung điểm của \(BC.\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta OBS\) có :

\( \Rightarrow \angle OAD = \angle OSA = \angle HAS\) (So le trong) \((6)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle OAC = \angle OCA = \dfrac{{180^\circ - \angle AOC}}{2}\\ = 90^\circ - \dfrac{{\angle AOC}}{2} = 90^\circ - \angle ABC = \angle HAB\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle OAC = \angle HAB\;(7)\)

Từ \((6)\) và \((7)\) \( \Rightarrow \angle OAD + \angle OAC = \angle HAS + \angle HAB\)

\( \Rightarrow \angle CAD = \angle BAS\,\,\,\)(đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link