Cho các số thực dương \(a,b,c\)thỏa mãn \(abc + a + b = 3ab.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 476447:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\)thỏa mãn \(abc + a + b = 3ab.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{a + b + 1}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{bc + c + 1}}} + \sqrt {\dfrac{a}{{ac + c + 1}}} \).

A. \(\min P = 1\)

B. \(\min P = \sqrt 2 \)

C. \(\min P = \sqrt 3 \)

D. \(\min P = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476447

Phương pháp giải

Đổi biến để đơn giản hóa biểu thức sau đó sử dụng linh hoạt bất đẳng thức AM – GM

Giải chi tiết

Đầu tiên, ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 1: Với các số dương \(x,y,z\) ta có: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 3 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} \ge 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) \ge 6\end{array}\)

Theo AM – GM thì \(\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \ge 2,\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) \ge 2,\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) \ge 2 \Rightarrow \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) \ge 6\). Vậy \(\left( 1 \right)\) đúng theo phép biến đổi tương đương.

Bổ đề 2: Với các số dương \(x,y,z\) ta có \(xy + yz + zx \le \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\,\,\left( 2 \right)\)

Thật vậy, \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {x + y + z} \right)^2} \Leftrightarrow \,3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {x^2} + {y^2} + {z^2} + \,2\left( {xy + yz + zx} \right)\)

\( \Leftrightarrow \,\left( {xy + yz + zx} \right) \le {x^2} + {y^2} + {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}{2} \ge 0\), luôn đúng nên \(\left( 2 \right)\) đúng.

Quay trở lại bài toán:

Có \(abc + a + b = 3ab \Rightarrow c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 3\)

Đặt \(\dfrac{1}{a} = x;\dfrac{1}{b} = y;c = z \Rightarrow x + y + z = 3\,\left( {x,y,z > 0} \right)\)

Khi đó \(P = \dfrac{1}{{\sqrt {xy + x + y} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz + y + z} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {zx + z + x} }}\)

\( = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {3\left( {xy + x + y} \right)} }} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {3\left( {yz + y + z} \right)} }} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {3\left( {zx + z + x} \right)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(AM - GM\) ta có: \(\sqrt {3\left( {xy + x + y} \right)} \le \dfrac{{\left( {xy + x + y} \right) + 3}}{2}\)

Tương tự ta được

\(\begin{array}{l}P \ge \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{xy + x + y + 3}} + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{yz + y + z + 3}} + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{zx + z + x + 3}}\\P \ge 2\sqrt 3 \left( {\dfrac{1}{{xy + x + y + 3}} + \dfrac{1}{{yz + y + z + 3}} + \dfrac{1}{{zx + z + x + 3}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng bổ đề 1:

\(P \ge 2\sqrt 3 .\dfrac{9}{{\left( {xy + yz + zx} \right) + 2\left( {x + y + z} \right) + 9}} = \dfrac{{18\sqrt 3 }}{{\left( {xy + yz + zx} \right) + 15}}\)

Áp dụng bổ đề 2: \(xy + yz + zx \le \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3} = 3\)

Do đó \(P \ge \dfrac{{18\sqrt 3 }}{{3 + 15}} = \sqrt 3 \)

Vậy \(Min\,P = \sqrt 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link